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TEMA: Teorema de la mecánica cuántica

Teorema de la mecánica cuántica 2 años 6 meses antes #3

Demostrar que si dos operadores conmutan poseen un conjunto completo de funciones propias comunes.

Sean $g_i$ y $a_i$ funciones propias y valores propios del operador $\hat{A}$
$\hat{A}g_i=a_ig_i$
Actuando con $\hat{B}$:
$\hat{B}\hat{A}g_i=\hat{B}a_ig_i$
Dado que $\hat{A}$ y $\hat{B}$ conmutan y $\hat{B}$ es lineal:
$\hat{A}(\hat{B}g_i)=a_i(\hat{B}g_i)$
Por tanto, $\hat{B}g_i$ es una función propia de $\hat{A}$ con valor propio $a_i$.
Según otro teorema de la mecánica cuántica, todos los múltiplos escalares de una función propia de $\hat{A}$ son también funciones propias de $\hat{A}$ con idéntico valor propio. De este teorema se deduce que $\hat{B}g_i$ es un múltiplo escalar de $g_i$, es decir:
$\hat{B}g_i=k_ig_i$
Expresión que demuestra que $g_i$ es también propia de $\hat{B}$

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Última Edición: por Germán Fernández.
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